안녕하세요. 함수의 극한의 엄밀한 정의 부분을 공부하다가 궁금한 부분이 생겨서 질문드려요.

처음에 주장하려고 하는 내용이 x가 a에 무한으로 가까이 갈 때, f(x)=L을 주장하는 부분에 있어서 실제로 x가 a가 아닌 경우에 즉, a에 무한히 가까이 가는 x에 대해서는 f(x)가 L이 아닐 수도 있는데 저렇게 주장할 수 있는지 궁금합니다. 제가 혹 이상한 질문을 한 건 아닌지 걱정도 되지만 답변 부탁드립니다.