안녕하세요. 항상 교수님 덕분에 쉽고 재밌게 수학을 배우며 수학이 많이 좋아진 늦깍이 학생입니다.

이번 고윳값과 대각화 강의를 듣던 중 질문이 생겨 글 올립니다.

1. p.187에 증명해주시지 않고 넘어간 명제

"A가 대각화 가능 행렬이면 모든 고윳값들에 대해 대수적중복도와 기하적중복도가 같다."를 제 나름대로 증명해보려 했습니다. 그런데 대수적중복도가 기하적중복도보다 크면 모순이 생기는 것은 알아냈지만, 기하적중복도가 대수적중복도보다 커질 수 없다는 것은 어떻게 밝혀내야 할지 모르겠습니다.

수업시간에는 보통 대수적중복도가 기하적중복도보다 크다고 하셨는데 그러면 기하적중복도가 더 큰 경우도 있는 건가요?

있다면 그때는 대각화가 불가능함을 어떻게 보일 수 있나요?

2. p.195에서 참고사항 3번을 설명해주실 때 판서없이 말로 설명해주셔서 제가 이해한 바가 맞는지 알고 싶습니다.

대칭행렬A는 직교대각화가 가능하고 따라서 추이행렬P의 열벡터들이 정규직교집합이 되도록 설정이 가능함.

-> 하지만 A를 대각화할 때 A고유벡터들이 정규직교하지 않도록 설정하는 것도 가능함.

-> 이때 서로다른 고윳값들에 대한 열벡터들은 정규직교하는데, 동일한 고윳값에 대한 열벡터는 정규직교가 안 될 수 있음.

-> 하지만 그 열벡터들은 그람직교화 과정으로 정규직교하도록 만들 수 있음. 그렇게 P를 재구성할 수 있음.

-> A가 대칭행렬이면 그렇게 재구성한 P로도 대각화 모양을 만들 수 있음(AP=PD)

항상 좋은 강의에 매번 감사합니다!