교수님 항상 쉽게 수학을 가르쳐주셔서 감사합니다.

교수님 덕분에 정말 재밌게 배우며 늦은 나이에 새로운 꿈을 키워갑니다.

이번에 미적분학1 3단원과 4단원 종합문제를 풀고 인강을 듣던 중에 개념강의에 들었던 의문까지 모두 모아 궁금한 점을 질문드리려 합니다.

1. 로그미분법에서 밑이 양수임이 보장되지 않으면 절대값을 취하고 지수를 절대값 밖으로 빼는 기법을 사용합니다. 그런데 그것이 왜 그렇게 되는지 잘 이해되지 않습니다.

예를 들어 밑이 (-5)이고 지수가 (-1/2)인 경우에는 절대값을 씌우기 전에 허수가 나오고, (-5)에 먼저 절대값을 씌우고 상기한 지수를 취하면 실수가 나오잖아요. 그래서 어떤 원리로 인해 지수를 절대값 밖으로 빼낼 수 있는지 납득이 잘 가지 않습니다.

2. 3단원 종합문제를 푸는 중에 두 곡선이 접하면 해당 점에서 두 곡선의 각 접선의 기울기가 동일하다는 성질을 이용해 문제를 푸는 부분이 있습니다!

직관적으로, 시각적으로는 그럴듯한데 수식적으로 증명되지 않으니 너무 찝찝합니다... 저 나름대로 증명하려 했지만 "두 곡선이 접한다"는 가정부터 수학적으로 표현하지 못해 도저히 증명이 안 됩니다.

혹시 이것이 증명이 가능한 명제인가요?? 가능하다면 혹시 증명 부탁드려도 될까요ㅠㅠ

3. 3단원 종합문제 11번에서 ㄴ의 보기가 제가 푼 방식대로 보면 뭔가 교수님 풀이처럼 엄밀하지가 않은 것 같은데 풀이과정에 문제가 있는지 혹시 첨삭 부탁 드려도 되나요? 미분 불가능한 h(x)가 너무 많이 나와서 이게 맞는 건지 잘 모르겠습니다.

4. 3단원 10번 13번을 풀어보려고 해도 잘 되지가 않습니다. 혹시 풀이과정 알려주실 수 있나요??ㅠ

5. 3단원 종합문제 풀이4번째 강의 16분 26초 쯤에 3단원 17번 문제 푸는 과정에서 h약분되는 것이 잘 이해가 안 갑니다!! 만약 h가 약분이 안 되면 또 문제 푸는 게 미궁으로 빠져서 혹시 확인 부탁드려도 될까요??

6. 4단원 종합문제를 풀 때, e의 미지수 지수꼴 형태나 절대값 안에 미지수가 들어있는 경우에 지수함수나 절대값함수가 연속임을 들어 극한 기호를 안에 넣어 푸시는 방식을 종종 보여주셨습니다.

그런데 제가 강의에서 이해한 바로는 연속함수 f(x)의 극한값을 구할 때 x자리에 극한값을 넣어도 되는 이유가, y=x라는 함수도 연속이어서 극한값이 존재하기에 합성함수의 극한을 사용에서 f(limx)=f(x)가 성립한다고 이해하였습니다.

그래서 상기한 문제에서 주어진 미지수의 식들이 극한값이 존재하는지 확정되지 않으면 lim기호를 지수함수나 절대값 함수의 안에 넣어서 계산하면 안 되지 않나요?

매번 자주 질문드리는 게 죄송하여 질문을 좀 모으다 보니 너무 길어졌습니다. 죄송합니다. 항상 정성스레 이해가 잘 되도록 답변해주셔서 감사합니다. 항상 건강하세요.