p. 223의

종합 5.114

보기 a와 보기 c는 p적분과 이상적분의 비교정리에 의해 

수렴인 것을 간단히 알아냈습니다.

과정은

a의 구간을 우선 0~1 과 1~ 무한대까지 나눈 이후

0~1 까지의 1/(2+x^4)는 0~1에서 연속인 함수이고, 0~1은 폐구간이면서 동시에 구간의 길이가 유한하므로

0~1까지 1/(2+x^4) 의 적분은 적분가능성 정리에 의해 수렴한다 ( 적분이 가능하다 ).

1~무한대 까지는 1/(2+x^4) < 1/x^4이므로 1~무한대까지 1/x^4 의 적분은 p적분에 의해 수렴하고,

더 큰 적분이 수렴하면 이상적분 비교 정리에 의해 작은 적분도 수렴한다.

따라서 a는 수렴한다.

c도 이와 같은 방식으로 수렴인 것을 증명했습니다. 

여기서 이미 답이 5번인 것을 알아냈지만 b와 d가 수렴인 것을 알아내기가 쉽지 않아 질문합니다.

그런데 b는 우선 

실수 전체에서 함수 (x^4)/e^-x^2를 적분하는 것인데, 

처음엔 x^2를 t로 치환하여 적분 하려고 했습니다. 그런데 이렇게 치환하게 되면,

x에 무한대와 -무한대를 넣어도 t의 관한 적분 영역으로 전환하는 것이 용이하지 않고 (무한대, 무한대가 나옴)

2xdx = dt 의 x를 마땅히 처리하기 쉽지 않습니다.

그래서 다른 사람들이 어떻게 풀었나 인터넷을 뒤졌는데, "(x^4)/e^-x^2 에서 분자보다 분모의 파워가 더 쎄기 때문에

적분이 수렴한다"라고 해설하는 사람의 풀이를 봤습니다. 이 부분이 명확하게 이해가 가질 않습니다.

d는 lnx를 t로 치환하면 적분 영역은 x=1 ~ x=무한대 에서 t=0 ~ t=무한대로 바뀌고,

(1/x)dx = dt , x = e^t 이므로 

t=0 ~ t=무한대 까지의 t^2/e^t 적분으로 바뀝니다. 이 또한 b번처럼 분자보다 분모의 파워가 더 쎄기 때문에

적분이 수렴한다"라고 해설을 하는 것이 이해가 가질 않습니다.