y=f(x) <--> x=f ^-1(y) 인거 생각해보면(이때 양쪽 x와 y는 같은 x와 y)

교수님께서 처음 적어주신 답안 x= sinh ^-1(y) = ln(y+√y^2+1) 은 이해가 가는데

어떻게  sinh ^-1(x)=ln(x+√x^2+1)도 가능한건지 모르겠습니다.  

단순히 sinh ^-1(y) =  ln(y+√y^2+1) 의 y를 원함수에 쓰인 x가 아닌 완전 다른 x로 치환한건가? 싶었는데 y=ln(x+√x^2+1) 는 또 안된다고 하시니까 왜 그런지 모르겠습니다.(만약에 y를 기존식의 x와 완전 다른 x로 치환한거면 x도 기존식의 y와 완전다른 y로 치환할 수 있는거 아닌가요?)