| 제목 | 답변완료 유체역학 22/23/24강 운동량 방정식 및 나비에스톡스 유도과정에서 질문드립니다. | ||
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| 질문유형 | 강좌내용 | 교수님 | 권준표 |
| 과목 | 유체역학 | 강좌명 | |
| 작성자 | 최*호 (z*******s) | 등록일 | 2019-11-19 09:40 |
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사진이 1개밖에 첨부가 되지 않아 글로 길게 표현을 드리는 점 양해 부탁드립니다. (두꺼운 문자로 표현한 기호를 벡터라고 이해해주시면 될 것 같습니다. 23강 33분 40초 쯤에 나오는 부분에서 밀도는 위치에 따라 변하지 않기 때문에 a/at(pu V )가 전개된 항중에서 aP/ax(u V ) 이게 수식에서 제거된다고 설명을 해주셨는데 22강 첨부파일에 올려주신 유튜브(https://youtu.be/8bVIqEKdxWM)의 답변에서는 밀도가 위치와 시간에 따라 변할 수 있다고 설명을 해주셔서.. 이게 뭐가 맞고 뭐가 틀린건지 이해에 어려움이 생겼습니다.
밀도라는게 수학적으로 p(x,y,z,t) 이렇게 표현이 되면 이때 x,y,z는 공간이고 t가 시간이라면, 공간은 항상 시간에 영향을 받아서 x(t), y(t), z(t) 이렇게 표현을 할 수 있고, 이 때문에 밀도와 위치가 시간에 변할 수 있는건지 아니면 공간과 시간이 영향을 받지 않는 경우가 존재해서 밀도는 위치에 따라 변하지 않고, 수식에서 제거 될 수 있는 건지도 같이 덧 붙여서 설명해주시면 좋을 것 같습니다. 만약 밀도가 위치와 시간에 따라 변할 수 있다면 aP/ax(u V ) 이 식이 제거 될 수 없는 형태인데 그러면 그 다음 운동량방정식이 어떻게 유도되는 지 설명해주셨으면 좋겠습니다.
또한, 23강 18분쯤에서 a/at(pu V ) 이 표현에서도 질량유량(m(dot)V) = pA V .V 여기서 V의 x방향성분을 표현하기 위해 u로 바뀐것은 알겠는데 그러면 이 puV가 u는 벡터량이 아닌 스킬라량인건지 아니면 u가 V속도의 u방향 속도이기 때문에 벡터량이라고 표현이 된다면 수식적으로 p AuV 에서 u 와 V 가 모두 벡터량이라면 u 와 V 사이에 곱의 형태가 내적과 외적이 아니라 그냥 스칼라 곱셈인것처럼 같이 나란하게 나와있는 형태인데 이 부분이 정확하게 어떻게 표현되어야 하는지 모르겠습니다.. 벡터와 스칼라량의 수학적 표현법에서 계속 막히게 되는데 이 부분도 좀 더 자세하게 설명해주시면 좋을 것 같습니다.
38분 21초 쯤에는 V [aP/at + div(p V )] 이 항 중에서 [aP/at + div(p V )] 이게 연속 방정식이고 이 중에서 div(p V )의 항이 div( V )=0 질량보존의 법칙으로 제거가 된다고 설명해 주셨는데 지금 저희가 운동량 방정식을 유도하는 과정에서는 정상상태라던가 비압축성 유동이라고 가정을 하지 않고 유도를 진행하는 것이 아닌가요? div(p V ) 여기서 이 p가 어떻게 사라지게 된건지 궁금합니다.
마지막으로 => 나비에스톡스 방정식 중 비압축성 나비에스톡스 방정식을 유도하기 위해 들어가는 가정이 뉴턴유체이고 비찹축성 유체라는 유동을 가정한다고 제가 배우는 전공 교재에 나와 있는데 위에 질문한 것 처럼 연속방정식이나 운동량 방정식을 유도할때에는 위의 가정이 없이 레이놀즈 수송정리만으로 유도를 하고, 이 유도된 식에서 상황에 따라 정상유동, 비압축성이라고 따로 가정을 해서 문제를 간단하게 해결하는 것이 맞는 지 궁금합니다.
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일단, 학생분께서 분명히 기억하셔야할 것은
나비에스톡스 방정식이라 하는 것은 유체의 Linear Momentum equation에서 Newtonian flow와 비압축성 가정을 거친 식을 말한다는 것입니다. 제가 강의에서 유도한 식은 Linear Momentum식인데, 결국 이 식이 나비에스톡스의 유도를 위한 식이기 때문에 개념이 조금 헷갈릴 수 있습니다. Linear Momentum equation과 나비에스톡스 방정식의 차이를 분명히 이해한 후 아래의 답변을 읽어주시길 바랍니다.
1. 밀도 및 여러 가정에 대한 답변
제가 유도를 잘못한 것 같습니다. 엄밀하게 말하면 Linear Momentum 방정식의 경우 continuum concept을 기반으로 운동량의 변화량에 대해 레이놀즈 수송정리로 정리하여 힘에 관한 식을 표현한 것입니다. 결국, 선형 운동량인 mv를 고려했기 때문에 여기서는 “밀도와 속도”가 질량의 시간에 대한 변화량으로 인식되어 같이 붙어있어야 할 것 같습니다. 즉,
로만 쓰여져야하고 밀도가 속도성분과 따로 미분되면 안될 것 같습니다. 때문에 제가 제공한 필기자료에 있는 “밀도는 위치에 따라 변하지 않는다.” 라는 내용은 틀린 것으로 봐야할 것 같습니다. 죄송합니다.
나비에스톡스 유도과정(Linear Momentum equation을 설명하는 과정)에서는 어떠한 가정도 전제하지 않고, continuum concept을 바탕으로 유도했다는 것이 중요한 내용이 되겠습니다. 뒤에 설명이 나오지만, continuum concept이란 상태량이 x, y, z에 대해 일정하게 변한다는 것을 말합니다. 이에 대해 유도된 continuity equation이
이고 이 식은 유동이 steady/unsteady, viscous/frictionless, compressible/incompressible에 상관없이 모두 만족하는 식입니다. 물론 각 가정에 의해 식이 단순화될 수는 있겠습니다. Linear Momentum equation의 경우도 마찬가지로 continuum concept을 기반으로 운동량의 변화에 대한 식을 정립한 것입니다.
비압축성 얘기가 나와서 좀더 부연설명을 하고자 합니다. 먼저 유체의 밀도는 장소와 시간에 따라 변할 수 있습니다. 그러나 밀도의 위치에 따른 변화량의 경우, Ma < 0.3이하일 때 그 값이 매우 작기 때문에 비압축성 가정을 하는 것이 일반적인 거동을 이해하는 데에 큰 무리가 되지 않습니다.
왜 일반적인 유체의 거동(Ma < 0.3)을 해석하는 데에 비압축성 가정을 해도 되는지에 대한 내용은 아래와 같습니다. 비압축성 가정이란 아래와 같이 식이 성립한다는 것입니다.
이는
를 만족하기 때문인데, 다시 쓰면
를 만족한다는 의미입니다.
제가 유체역학 심화과정에서 설명했던 것 같은데 유체의 압력의 변화는 1)밀도의 변화와 2)음속의 제곱에 비례합니다 (δp≈a^2 δρ). 그리고 베르누이 방정식에 의해 δp≈ρVδV가 성립합니다. 이를 정리하면 아래와 같습니다.
결국 Ma가 약 0.3 이하인 유체의 거동에서는 대부분 incompressible이라고 가정하고 풀어도 괜찮다는 결론이 나옵니다.
스칼라와 벡터
V ⃗=(u,v,w)라고 표현할 때 각 u, v, w 항은 스칼라 값입니다.
Continuity Equation
∂ρ/∂t+∇∙(ρV)=0 이라는 질량보존 방정식에서 비압축성 가정에 의해 ∂ρ/∂t=0이 됨과 동시에 ∇∙V=0 가 됩니다. 정상상태의 여부와 상관 없이 비압축성 가정만으로도 ∂ρ/∂t=0 을 만족할 수 있습니다. 하지만 나비에스톡스 방정식에서 질량보존 방정식에 대한 항을 제거할 때는 어떠한 가정도 필요 없이 질량보존 방정식만으로도 제거될 수 있으니 유의하세요.
질문에 대한 답이 되었는지 모르겠습니다. 학생분의 교재내용을 제가 살펴보지 않았기 때문에 (예상은 되지만) 거기서 유도된 비압축성 나비에스톡스 방정식은 어떤 것을 말하는 지 답변드리기 어려울 것 같습니다. 그러나 처음의 Linear Momentum equation에서 inviscid flow를 가정하여 Euler’s Equation이 되고, Newtonian Fluid와 비압축성을 가정하여 나비에스톡스 방정식이 되는 것이니 다시 한번 제 답변을 바탕으로 개념을 정리해보시길 바랍니다.
좋은 질문해주셔서 감사합니다.
- 2019-11-19
- 2024-12-12 수정
