관*자

안녕하세요. 유니스터디 담당자입니다.

아래와 같은 정보를 바탕으로 답장 드립니다.

ﾷ 정의: ψ(x,y) = √(ν U∞ x) · f(η), η = y √(U∞/(ν x))

ﾷ 속도: u = ∂ψ/∂y|x, v = −∂ψ/∂x|y

 

핵심만 요약해서 말씀드리자면, u는 앞의 계수가 y와 무관해서 체인룰만으로 충분하지만, v는 ψ가 x에 직접·간접 두 경로로 의존하므로 곱미분+체인룰을 함께 써야 올바른 결과가 나옵니다.

 

1.   u를 구할 때 x를 고정하고 y로 미분하므로, 앞의 √(ν U∞ x)는 y에 대해 상수입니다. u = √(ν U∞ x) · f′(η) · ∂η/∂y = √(ν U∞ x) · f′(η) · √(U∞/(ν x)) = U∞ f′(η) 즉 체인룰(η에 대한 합성함수 미분)만 쓰면 됩니다.

 

2.   v를 구할 때 y를 고정하고 x로 미분합니다. 이때 ψ는 x에

ﾷ 직접적으로 A(x) = √(ν U∞ x)를 통해

ﾷ 간접적으로 η(x,y)를 통해 두 가지로 의존합니다. 따라서 ∂ψ/∂x = A′(x) f(η) + A(x) f′(η) · ∂η/∂x 즉, 곱미분(=A′f) + 체인룰(A f′ ηx) 둘 다 필요합니다.

 

각 항을 계산하면 A′(x) = A(x)/(2x), ∂η/∂x|y = −η/(2x) 따라서 ∂ψ/∂x = A(x)/(2x) [ f(η) − η f′(η) ] v = −∂ψ/∂x = (1/2) √(ν U∞/x) [ η f′(η) − f(η) ]

 

왜 “체인룰만” 쓰면 안 되나요? dψ/dx = (dψ/dη)(dη/dx) 라고만 쓰는 것은 ψ가 오직 η에만 의존할 때(ψ = ψ(η))만 맞습니다. 여기서는 ψ = A(x) f(η)로 x에 직접 의존하므로, 다변수 체인룰을 써야 하며 그 첫 항 (∂ψ/∂x)_η = A′(x) f(η)이 추가됩니다. 이 항을 빼먹으면 결과가 달라집니다.

감사합니다.

• 2025-11-03