| 제목 | 답변완료 열전달 10강 예제풀이에 대한 의문 | ||
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| 질문유형 | 강좌내용 | 교수님 | 권준표 |
| 과목 | 열전달 | 강좌명 | |
| 작성자 | 이*기 (k***********************0) | 등록일 | 2025-07-03 17:20 |
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#열전달 #구 #열저항 모델링 열저항 모델을 이용하기 위한 조건은, no generation 상태 임이 가정됬는데, 이 문제에선 중심구에 대해서 열생성이 일어났습니다. 즉 가정에 안맞아서 열저항모델을 사용할 수 없는거 아닌가요? 교수님이 문제 풀이할따 그대로 푸시길레 이해가 안가서 질문드립니다. 그리고 강의 캡처가 안되서 사진 첨부가 안죄서 첨부할 수 없음을 양해부탁드립니다. 답변 완료된 질문과 답변은 수정 및 삭제가 불가합니다. |
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관*자
안녕하세요. 유니스터디 담당자입니다.
- 이론을 설명할 때는 쉬운 경우(=no generation)를 고려한 것이지만 generation이 있는 경우도 직접 유도하시면 됩니다.
- 아래의 유도방법을 참고하시기 바랍니다.
아래에서는
1) 지배 방정식을 풀어 구의 내부-온도 분포와 표면 열류를 얻고,
2) 그 결과로부터 ‘전도 저항 + 대류 저항’을 일렬(Series)로 놓은 열저항 회로가 성립함을 보이며,
3) 궁극적으로
q = (T₁ – T∞)/R_tot = q̇ (4/3 π r₁³)
라는 식이 자연스럽게 도출되는 과정을 단계별로 유도하겠습니다.
1. 문제 구성 및 지배방정식
• 반지름 r₁ 의 고체 구 내부에서 균일한 체적열발생( W m⁻³ )이 q̇ 로 주어짐.
• 구 표면 r = r₁ 은 열전달 계수 h 로 둘러싸인 유체(온도 T∞)와 대류.
• 구 중심 r = 0 은 대칭 조건 (dT/dr = 0).
• 정상(steady), 구대칭(spherical symmetry)이므로 온도는 r 에만 의존.
• 열전달 방정식 (Fourier + 열발생):
1/r² d/dr (r² dT/dr) + q̇/k = 0 (1)
2. 온도 분포 T(r) 해석해
식 (1)을 두 번 적분.
1차 적분 :
r² dT/dr = –(q̇ /6k) r³ + C₁ (2)
중심에서 dT/dr 이 유한하려면 r → 0 에서 C₁ = 0.
2차 적분 :
T(r) = –(q̇ /12k) r² + C₂ (3)
r = 0 에서 T = T₁ 라 두면 C₂ = T₁
→ 최종 분포
T(r) = T₁ – (q̇ /12k) r² (4)
표면 온도(T_s) :
Ts = T(r₁) = T₁ – (q̇ /12k) r₁² (5)
3. 표면을 통해 나가는 열량 q
전도 열류(총 열량) :
q = –k·(4π r²)dT/dr |{r=r₁} (6)
dT/dr|_{r=r₁} = –(q̇ /6k) r₁ (식 (2)에서 C₁=0)
→ q = –k·4π r₁² [ –(q̇ /6k) r₁ ]
= (4/3) π r₁³ q̇ (7)
즉, 구에서 생성된 열량(체적 × 발생율)과 동일하다.
이 때문에 열전달 회로에서도 열류 q 자리에 바로 q̇·(4/3 π r₁³) 를 쓸 수 있다.
4. ‘전도 저항’의 정의
열저항 R_cond 는
R_cond ≡ (T₁ – T_s)/q (8)
T₁ – T_s 는 식 (5), q 는 식 (7) 대입:
R_cond = [ (q̇ /12k) r₁² ] ÷ [ (4/3) π r₁³ q̇ ]
= 1/(16 π k r₁) (9)
⇒ 구 내부(0→r₁) 전도는 전기저항과 완전히 같은 형태의 ‘열저항’으로 표현 가능.
5. 표면 대류 저항
대류 열저항은 일반식
R_conv = 1 / (h A_s) = 1 / (h 4π r₁²) (10)
6. 열저항 회로(Series) 및 최종 식
정상 상태에서는
같은 열류 q 가 중심 → 표면 전도를 지나
그 다음 표면 → 유체 대류를 연속적으로 통과한다.
따라서 전도·대류 저항은 직렬 연결되고,
R_tot = R_cond + R_conv (11)
Ω-법칙(열버전) : ΔT = q R →
T₁ – T∞ = q (R_cond + R_conv) (12)
q 대신 (7)식을 넣어 주면
q = (T₁ – T∞)/R_tot = q̇ (4/3 π r₁³) (13)
식 (13)은 문제 그림에 제시된 결과와 동일하다.
7. 왜 ‘열회로’로 표현할 수 있는가?
• 열류( W ) ↔ 전류( A )
• 온도차( K ) ↔ 전압( V )
• 열저항( K/W ) ↔ 전기저항( Ω )
전도·대류·복사 등 모든 전열 과정은 ‘온도차와 열류가 비례’하는 선형 관계( Fourier, Newton, Stefan-Boltzmann의 선형화 )를 갖는다.
선형 시스템에서는 각 구간의 ΔT 가 더해져 전체 ΔT
가 되므로 전기 회로처럼 저항을 직렬/병렬로 합산할 수 있다.
따라서, 구 내부 전도( R_cond )와 표면 대류( R_conv )를 전기회로와 동일한 방법으로 ‘열전달 회로’로 그려도 물리적으로 완전한 결과를 준다.
그 회로 분석의 결과가 바로
q = (T₁ – T∞)/R_tot = q̇ (4/3 π r₁³)
이다.
- 2025-07-21
