| 제목 | 답변완료 du/dy가 일정한 이유 | ||
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| 질문유형 | 강좌내용 | 교수님 | 권준표 |
| 과목 | 유체역학 | 강좌명 | |
| 작성자 | 정*기 (j*******3) | 등록일 | 2025-04-27 01:56 |
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안녕하십니까. 좋은 강의 잘 듣고있습니다. 다름이 아니라 유체역학 퍼펙트완성 4강에서 force balance 식을 세운 후, shear stress 가 일정하고, du/dy가 일정하기에 점성계수가 일정하다고 해주셨는데, du/dy는 왜 일정한건가요? 이것 역시 선형으로 가정해서 그런것 아닌가요? 이유가 궁금합니다
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관*자
안녕하세요. 유니스터디 담당자입니다.
결론부터 말하면,
• “du/dy 가 일정하다 → 속도분포가 선형이다” 는 임의로 가정한 것이 아니라
• “전단응력이 층내에서 일정하다” 는 힘의 평형에서 먼저 나오고,
• 뉴턴유체(μ=상수)라는 헌법을 적용했더니 du/dy 가 자동으로 일정해진 결과입니다.
아래에 과정을 순서대로 이해하면 왜 그런지를 알 수 있습니다.
(강의에서 배운 내용과 동일합니다.)
1. 문제 설정: 평행판 Couette 흐름
‣ 두 평판이 x-방향으로 상대속도 V 로 움직인다.
‣ y 축은 두 판 사이의 간격 h 를 따라 잡는다.
‣ 정상상태(∂/∂t = 0), 1차원 속도장 u = u(y), v = w = 0,
‣ 압력기울기(dp/dx) = 0, 체적력 X = 0 라고 가정.
2. x-방향 운동량 방정식(미소유체요소 힘평형)
일반 Navier-Stokes 식의 x 방향 성분에서 위의 조건들을 적용하면,
0 = − dp/dx + dτ_xy/dy (가속도 항과 체적력 항 모두 0)
그런데 dp/dx = 0 이므로
dτ_xy / dy = 0
→ τ_xy 는 y 에 무관한 상수, 즉 층 전체에 걸쳐 “전단응력 일정” 이 나옵니다.
이 단계는 어떤 유체이건(뉴턴, 비뉴턴) 동일합니다.
3. 뉴턴 유체 헌법 : τ_xy = μ (du/dy)
뉴턴 유체에서는 전단응력이 속도구배에 비례하고, 등온·등밀 조건이면 μ 는 상수이다.
따라서,
τ_xy = μ (du/dy) = C (앞 단계에서 C 는 y 와 무관한 상수)
⇒ du/dy = C / μ = 상수
즉 “속도구배가 일정(선형)” 하다는 결론이 물리적으로 따라나옵니다.
(μ 가 상수라는 점이 관건. 만약 μ 가 온도 등의 이유로 y 에 따라 달라지면 du/dy 는 일정하지 않습니다.)
4. 적분 및 경계조건 적용
du/dy = 상수 = b → u(y) = ay + b
5. Non-slip 경계조건
u(0) = 0, u(h) = V
→ a = 0, b = V/h
결과적으로,
u(y) = (V/h) y (전형적인 직선 속도 분포)
6. 정리
• du/dy 를 “선형으로 가정” 한 것이 아니라,
힘의 평형(τ 일정) + 뉴턴유체(μ 상수) 라는 두 가지 물리적 사실이 모여서 선형 프로필이 도출된 것이다.
• 만약
압력기울기가 존재(dp/dx ≠ 0) → τ 가 y 에 따라 변하고, 그에 따라 du/dy 도 달라짐 (Poiseuille 흐름).
비뉴턴유체(μ = μ(du/dy)) → τ 는 여전히 일정하더라도 du/dy 는 y 에 따라 달라져 비-선형 속도분포를 얻게 됨.
온도구배로 μ = μ(y) 도 마찬가지.
따라서 “du/dy 가 일정하다” 는 것은 단순한 수학적 가정이 아니라, 특별한 물리 조건(전단유동 + 뉴턴유체 + 압력기울기 없음) 에서 자연스럽게 따라나오는 결과임을 기억하시면 됩니다.
- 2025-07-21
