안녕하세요. Castigliano 및 에너지법에 대해서 좀만 더 이해를 해보시면 쉽게 해결할 수 있는 질문입니다.

이런 질문이 생기는 이유는 strain energy는 구간 전체를 대표하는 에너지인데, 어떻게 집중응력을 가하는 그 특정지점에서의 처짐량과 어떻게 정확히 일치할 수 있겠느냐하는 부분일 겁니다. (아니라면 다시 질문해 주세요.)

1. Strain energy를 이용해 계산할 때, 우리는 응력의 형태에 따라 구간을 나누고, 각 구간에서의 모멘트식과 강성도(EI)를 이용해 energy를 계산합니다. 그리고 그 구간에서 작용하는 집중응력으로 미분해주면 처짐량을 구할 수 있었죠.

2. 집중하중이 추가로 발생하면, 모멘트식이 바뀌어 버립니다. 때문에 그 구간에서 작용하는 하중 P로 미분을 한다는 것은 그 구간에서의 최대 처짐량이 계산된다는 것입니다. 

3. 위의 예제에서는 하나의 strain energy에서 단순히 P로만 미분해 주니까 마치 전체 에너지에서 P로만 미분해주면 그 지점에서의 처짐량이 바로 계산되는 것처럼 느껴질 수도 있지만, 사실 구간을 굉장히 세밀하게 나눠서 모멘트식, 강성, 적분구간이 다 달라지는 것일 뿐입니다.

단순히 ACB로만 나눠져 있는 문제만 공부하지 마시고, 좀더 어려운 내용을 strain energy로 풀어보는 연습을 하신다면 아마 제 답변을 충분히 이해하실 수 있을 겁니다. 아울러, strain energy 및 Castigliano에 관한 내용을 아래와 같이 정리해 드리니, 공부하실 때 참고하시기 바랍니다. 감사합니다.

[Strain energy 및 Castigliano 정리에 관한 내용]

Strain energy 방법을 이용하여 보의 처짐량을 구할 때, 특정 지점의 처짐량은 전체 strain energy를 해당 지점에 작용하는 가상의 힘으로 미분함으로써 얻을 수 있습니다. 이는 Castigliano의 제2정리로 알려져 있는데요.

- Strain energy는 보에 저장된 총 변형 에너지를 나타냅니다. 이는 보에 작용하는 모든 하중과 모멘트에 의해 발생하는 변형 에너지의 합입니다.

- Castigliano의 제2정리에 따르면, 선형 탄성 구조물에서 특정 지점의 변위는 그 지점에 작용하는 힘에 대한 strain energy의 편미분값과 같습니다. 이는 다음과 같은 수학적 표현으로 나타낼 수 있습니다.

   ∂U/∂P = δ

(여기서 U는 strain energy, P는 해당 지점에 작용하는 힘, δ는 해당 지점의 변위입니다.)

- 이 정리가 성립하는 이유는 가상일의 원리(principle of virtual work)와 관련이 있습니다. 가상일의 원리에 따르면, 구조물이 평형 상태에 있을 때, 외부 힘이 한 일과 내부 힘이 한 일은 같아야 합니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

   δW_ext = δW_int

(여기서 δW_ext는 외부 힘이 한 가상일, δW_int는 내부 힘이 한 가상일입니다.)

- strain energy는 내부 힘이 한 일과 관련이 있습니다. 따라서 strain energy를 특정 지점에 작용하는 힘으로 미분하는 것은 가상일의 원리를 만족시키는 조건입니다.

- 이렇게 strain energy를 특정 지점에 작용하는 힘으로 미분함으로써 얻은 값은 해당 지점의 변위를 나타내게 됩니다. 이는 가상일의 원리와 Castigliano의 제2정리에 의해 보장됩니다.

요약하면, strain energy 방법을 사용하여 보의 처짐량을 구할 때, 전체 strain energy를 특정 지점에 작용하는 힘으로 미분함으로써 해당 지점의 처짐량을 정확히 구할 수 있습니다. 이는 가상일의 원리와 Castigliano의 제2정리에 의해 수학적으로 증명되며, 선형 탄성 구조물에 대해 성립합니다. 

• 2024-09-09
• 2024-12-12 수정