| 제목 | 답변완료 1차 회로에 대한 닐슨 교재와 일반적 회로이론의 차이점 및 수학적 분석 | ||||||||||||||
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| 질문유형 | 강좌내용 | 교수님 | 양진목 | ||||||||||||
| 과목 | 회로이론 | 강좌명 | |||||||||||||
| 작성자 | 김*언 (s*******m) | 등록일 | 2021-11-24 14:37 | ||||||||||||
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이전에 질문드렸던 질문들에서 배운점들과 인터넷, 교재 등에서 배운것들로 제가 이해한 것들이 맞는지 검증하려고 질문드립니다.
1. 닐슨 교재와 일반적 회로이론의 차이점 (1) 교유응답 닐슨교재와 일반회로이론에서 고유응답은 전원이 인가되지 않았을 때의 회로의 응답으로 동일하지만, 닐슨 교재에서 고유응답은 강제응답과의 관계를 포함시키지 않고(강제응답으로 수렴하지 않고 항상 0으로 수렴시킴) 일반적 회로이론은 이 관계를 포함시켜 y = A + Be^{-t/τ }에서 고유응답부분인 Be^{-t/τ } ㅇ에서 계수부분인 B가 차이나게됩니다. 고유응답이 소멸하는 속도를 결정하는 시상수 τ 는 변함없지만 일반적 회로이론에서는 A로 수렴시켜야하기 때문에 고유응답의 계수가 무조건 0으로 수렴되는 닐슨 교재의 교유응답과 차이가 발생하게됩니다. (2) 강제응답 회로의 고유한 특성이 아닌 외부 독립전원으로 부터 강제적으로 발생하는 응답으로 닐 슨 교재에서 특성방정식을 이용한 1차 회로의 풀이를 다루지 않아 소개되지 않지만 y = A + Be^{-t/τ } 의 A부분을 담당. (3) 완전응답 강제응답과 마찬가지로 특성방정식을 이용하는 방식이 소개되지 않아 동일한 이름으로 소개되지는 않지만 스탭응답과 동일.
2. 수학적 분석 1차 회로는 선형시스템이므로 회로이론에서 소개하는 중첩의 원리가 적용되고 1차 회로를 나타내는 미분방정식의 형태가 상수계수를 갖는 1계 비제차선형미분방정식(y``+p(x)y`+q(x)=r(x) 의 형태)이므로 해가 y = y_h + y_p (y_h: y``+p(x)y`+q(x)=0의 일반해, y_p: y``+p(x)y`+q(x)=r(x) 의 한 특수해)의 형태로 나타나게 된다. 이때, 고유응답은 전원 입력이 없을 때의 응답이므로 r(x)=0인 y_h에 해당하고 강제응답은 전원에 영향을 받으므로 y_p에 해당하게 된다.
3. 이해안되는 부분 khan academy의 글에서 다음과 같은 걸 보았습니다.
회로의 중첩의 원리를 보여주려는 것 같은데 강제응답 즉, y``+p(x)y`+q(x)=r(x) 의 특수해를 구하는 방법인 미정계수법, 매개변수변환법, 역연산자법 등은 미분방정식의 형태만 고려하고 초기값은 고려하지 않으므로 초기값은 0이라 해도 상관없습니다. 그러나 고유응답을 구할 때에도 특성방정식을 사용하건 변수분리법을 사용하건 초기값을 사용하지 않고 Be^{-t/τ } 의 형태로 강제응답과 더해서 완전응답을 구한 뒤 초기값은 대입하여 푸는데 고유등답이 초기값을 포함한 응답이라 생각해야하는 것인가요?
지적가능한 부분은 다 지적해주시면 감사하겠습니다.
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안녕하세요. 양진목입니다.
전체적으로 맞게 이해하셨습니다. 핵심은 고유응답을 결정하는 요소가 무엇이냐는 것인데 초기조건 및 전원의 초기값 모두 고유응답의 계수에 관여합니다.
(고유응답을 보조해라고 부르는 이유가 출력의 main 요소인 강제응답만으로 응답이 완벽히 정해지지 않으므로 고유응답의 계수를 조정해서 응답을 맞춰주기 때문입니다.)
완전응답의 구성요소를 나누는 기준은 크게 두가지인데 질문하신 내용을 보면 두가지 기준들을 한번에 정리하시는 것이 이해에 더 도움이 될 것 같아 설명드립니다.
R옴 저항, L[H] 인덕터, 직류전압원 Vdc가 직렬연결된 회로에서 인덕터 전류 i를 구하는 상황을 가정하겠습니다. (단, i(0)=Io)
1. 완전응답=고유응답+강제응답
i(t)=Vdc/R+(Io-Vdc/R)*e^(-t/τ)[A](t≥0)
에서 강제응답은 Vdc/R, 고유응답은 (Io-Vdc/R)*e^(-t/τ)입니다.
2. 완전응답=영입력응답+영상태응답
(1) 영입력응답(zero-input response)는 입력은 없고 오직 초기조건에 의해서 발생하는 응답(출럭)을 뜻합니다.
위의 예에서 영입력응답을 구하기 위한 미분방정식은 i`+R/L*i=0, i(0)=Io이므로 i1(t)=Io*e^(-t/τ) [A]
부언하면 영입력응답은 강제응답이 0이므로 그 자체로 고유응답으로 볼 수 있습니다.(닐슨교재에서 말하는 고유응답이 여기에 해당합니다.)
(2) 영상태응답(zero-input response)는 초기조건이 0인 상태에서 입력을 인가한 경우 발생하는 응답(출력)을 뜻합니다.
위의 예에서 영상태응답을 구하기 위한 미분방정식은 i`+R/L*i=Vdc/R, i(0)=0이므로 i2(t)=Vdc/R-Vdc/R*e^(-t/τ) [A]
부언하면 영상태응답은 고유응답, 강제응답이 모두 존재하므로 그 자체로 완전응답으로 볼 수 있습니다.
(3) 영입력응답과 영상태응답을 합하면 (중첩의 원리에 의해) 입력과 초기조건이 원래대로 모두 주어진 경우의 완전응답이 됩니다.
위의 예에서 i(t)=i1(t)+i2(t)= =Io*e^(-t/τ) +Vdc/R-Vdc/R*e^(-t/τ) ==Vdc/R+(Io-Vdc/R)*e^(-t/τ)[A]
즉, 전원과 초기조건을 모두 고려한 완전응답에서 강제응답은 영상태응답에만 포함되는 반면, 고유응답은 둘로 나뉘어져서 하나는 영입력응답에, 하나는 영상태응답에 들어갑니다.
(4) khan academy의 표는 정확히 말하면 틀린 것입니다. 초기값이 0이고 전원입력값이 in(t)일 때, 초기값이 y(0)이고 전원입력값이 0일 때 각각 발생하는 응답의 의미로 이해하는 한 강제응답, 고유응답이 아니라 영상태응답, 영입력응답으로 해야 맞습니다.
(5) 참고로 영입력응답, 영상태응답에서 중요한 것은 영상태응답인데 라플라스변환을 배운 후 나오는 전달함수와 이에 관련된 임펄스응답, 스텝응답, 컨벌루션은 모두 초기조건이 0인 상태에서 입력을 인가한 경우 발생하는 출력을 다루므로 기본적으로 영상태응답입니다.(원래 스텝응답은 초기조건이 0인 상태에서 직류를 인가한 경우의 출력인데 닐슨책에서는 초기조건이 0이 아니어도 스위칭에 의해 직류가 인가되는 경우를 그냥 스텝응답으로 부르고 있습니다. 이렇게 하여도 스텝응답이 완전응답임에는 차이가 없습니다.)
답변이 되었는지 모르겠습니다.
그럼 안녕히계세요.
- 2021-11-25
- 2024-12-12 수정
