되게 기본적인 질문인거같은데 납득이 잘 안돼서 질문합니다.

<질문1>

기본연산에는 왜 덧셈과 스칼라곱만 포함되는지가 궁금합니다.

또한 덧셈은 벡터끼리의 덧셈을 기본연산으로 하는데, 곱셈은 왜 벡터끼리의 곱셈이 아니라 스칼라와 벡터의 곱셈을 기본연산으로 하나요?(미적분학2를 들었었는데, 그때는 시험기간이라서 그냥 그렇구나 하면서 넘겼습니다.)

기존에 덧셈을 먼저 배워야 뺄셈을 알게되고, 곱셈,나눗셈을 알게 되는거처럼, 이 두 개를 기본연산으로 해야만 나머지 연산을 잘 정의할 수 있어서인가요?

<질문2>

그 나머지 연산이라는 거도 결국에 누군가에 의해 정의된거일텐데, 또 다른 사람이 벡터공간을 정의한다고 하면, 기본연산을 덧셈과 스칼라곱이 아니라 다른 걸로 정의하되, 그에 따른 나머지 연산이 잘 정의된다면 상관없나요?

<질문3>

(-1)과 u벡터의 스칼라곱을 -u벡터라고 정의함으로써 `u벡터 + (-1)v벡터 = u벡터 - v벡터` 로 쓰면서 뺄셈을 정의할 수 있게 된다고 하셨는데,

이거는 우리가 지금까지 알고있던 덧셈의 성질에 의해서 +기호와 - 기호가 만나면 +기호를 생략해서 쓸 수 있다는 사실을 적용한거잖아요.

근데 이건 벡터끼리의 덧셈을 어떻게 정의하느냐에 따라서 뺄셈이 정의되지 않을 수도 있나요?(즉, `u벡터 + (-v벡터) != u벡터 - v벡터` 이 돼서 뺄셈을 정의하지 못할 수도 있나요?)

머릿속에 있는 궁금증을 최대한 표현해보려고 했는데 잘 표현을 못한 것 같아 죄송합니다.