강의 잘 듣고있습니다. 덕분에 잘 공부하고 있어요.

기울기와 그래디언트에 대해 혼자서 고민해서 해결이 안되는 부분이 있습니다.

제가 생각한 흐름은 아래와 같습니다.

1변수 함수f에 대해 임의의 점의 기울기가 궁금하다면, 함수를 미분하여 임의의 점의 좌표를 대입하면 기울기가 구해집니다.

그리고 2변수 함수로 넘어오면 3차원 공간이 되며, 단순히 대입하는 것 만으로는 기울기를 정의할 수 없습니다.

3차원에서는 임의의 점에서 기울기를 구할때 그 방향을 달리하면 기울기 값이 달라지기 때문입니다. 

때문에 2변수 함수에서 임의의 점에 대한 기울기는 함수를 미분하여 값을 대입해서 나온 값+그 방향 까지 제시 해줘야 합니다.

이러한 흐름으로 예제를 풀어보려 했는데, 2변수 함수의 임의의 점에서 기울기를 구하라는 문제에서 헷갈리기 시작했습니다.

2변수 함수를 전미분하여 임의의 좌표를 대입해서 나온 값은 (-22, 22)였습니다.

여기서 이 값에 어떤 정보가 담겨있는지 모르겠습니다.

보통 기울기는 스칼라 값으로, 그 크기를 정의할 수 있습니다. 그렇다면 저 벡터의 크기가 기울기가 되는 것인가요?

그리고 그 방향은 x축의 음의 방향, y축의 양의 방향이라고 하면 될까요?

마지막으로 문제에서 기울기를 구하라고 할 때 어떤 방향을 제시한 적이 없는데 방향을 묻는 질문이 있어서 개념이 헷갈리기 시작했습니다.

즉, "그래디언트를 구하라 = 방향까지 제시된 정확한 질문"이고 "기울기를 구하라=방향에 따라 다른데 어떻게 구하지"라는 생각이 듭니다.

다음으로 그래디언트 입니다. 그래디 언트와 기울기는 뭔가 다르다고 생각했습니다. 

그래디 언트는 방향이 정해져 있습니다. 기울기가 가장 큰 방향이라고 정의가 되어 있습니다.

때문에 그래디언트를 구해서 임의의 점의 좌표를 대입하면 벡터가 나오고, 그 벡터의 크기는 기울기이며, 그 방향은 각 성분에 제시되어 있습니다.

그리고 그래디언트와 임의의 벡터A를 내적하면 A방향으로의 기울기가 나온다고 생각했습니다. 그렇다면 A벡터의 크기는 중요하지 않다고 생각했습니다. 

왜냐하면 A벡터의 크기랑은 별개로 어떤 점에서 A방향으로의 기울기는 정해져 있기 때문입니다.

그렇기 때문에 내적의 정의에 따라 |del T| |dl| cos(세타)와 뭔가 어긋난다고 생각했습니다.

이 정의에 따르면 분명히 임의의 벡터A의 크기가 개입하고 있기 때문입니다. 

제가 무엇을 놓쳤기에 이런 생각에 빠졌는지 알려주시면 좋겠습니다.

그리고 이러한 흐름이 맞는지도 의문입니다.

두서없는 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.