연이어 질문을 드리게 되어 죄송합니다.

일전에 올린 질문을 계속 저 나름대로 탐구하다보니 너무 이상한 점이 생겨 질문드립니다.

질문의 번호는 개별적인 질문이 아닌, 제 사고 과정을 가독성 있게 정리하려다 보니 편의상 매긴 번호입니다.

각각에 다 답변해주시지 않으셔도 돼요...(해주시면 더 감사하겠지만)

<질문>

1. 이제까지 다변수함수의 최대최소를 구하기 위해서 극값을 구하고 판별식을 쓰고 경계값을 구해서 비교하는 단계들을 거쳐왔는데

저희가 자주 접하는 2변수 함수의 최대최소를 생각하면서 이상한 점이 들었습니다.

2. 생각해보니 극값은 gradient가 0벡터가 되는 지점인데, 2변수 함수의 경우에 이것은 xy평면에 평행한 면에 접하는 부분이잖아요?

3. 그런데 3차원 평면을 머리 속에서 생각해보니, 굳이 xy평면에 평행한 면에 접하는 지점(기존에 구하던 임계점)이 없더라도 자유롭게 z값이 증감할 수 있지 않나요??

4. 곡면을 지나는 임의의 곡선이 있을 때 그 곡선의 순간기울기벡터가 (x,y,0)의 꼴만 된다면, 그 지점에서 z가 증감이 바뀔 수 있지 않나요?

5. 위의 내용들이 만약에 참이라면, 저희가 최대최소를 구하던 과정들이 의문이 듭니다. 경계내부에 극값이 있고, 경계값들을 구한다하더라도,

경계내부의 극값과 경계값 사이의 영역에서 gradient가 0벡터가 되지 않는 지점에서도 마음대로 z의 증감이 바뀔 수 있는 것 아닌가요...?

개념 설명 강의 때 별다른 사고 없이 받아들였다가 종합문제를 풀면서 이 부분들이 걸려서 머리가 터질 것 같네요... 도와주세요 교수님...