안녕하세요. 오랜만에 질문드립니다. 항상 양질의 강의에 감사드립니다.

최근에 미적분학2 개념 강의는 전부 수강하고 종합문제 강의를 듣고 있는데, 대부분의 문제에서 공통적으로 발생하는 의문이 생겨서 질문드립니다.

<질문>

6단원 종합문제를 풀다보면, 주어진 정의역 안에서 다변수함수의 최대최소를 구하는 문제가 자주 나옵니다.

그런데 그때 주어진 함수의 임계점을 구하는 도중에 문제에서 주어진 정의역의 "경계"에서 임계점이 나오면 판별식을 쓰지 않으시는 경우가 반복됩니다.

이 부분이 잘 이해가 되지 않습니다.

만약 경계곡선 상의 점이 임계점이 된다하더라도, 해당 점이 단 하나 존재하는 임계점이고 극대값이나 극소값으로 나타난다면,

최대최소 문제를 푸는 데 있어서 유의미하지 않나요?

제 생각에는 미분가능한 다변수 함수이고, 극값이 단 하나 존재한다면, 증감방향이 바뀔 일이 없다는 거니까, 그 값이 바로 최대 혹은 최소가 되는 것 아닌가요?

임계점이 단 하나 존재해도 그것이 경계 곡선 위에 있다면 판별식을 아예 시도하지 않으시길래, 제 사고과정에 혹시 무언가 수학적 오류가 있는지 궁금해서 질문드립니다. 미분가능한 다변수함수에서 극값이 단 하나 존재함에도 그 점이 최대최소가 되지 않는 반례가 혹시 있나요???

무더운 날씨에 항상 건강 유의하시고 오래오래 강의해주세요.