정방행렬 A가 대칭행렬이면 A는 직교대각화 가능한 행렬, P는 A를 직교대각화 하는 행렬이고 동시에 직교행렬이라고 배웠습니다

그래서 A가 대칭행렬이면 P^-1대신 P^t를 쓸 수 있는 건 이해가 되었습니다 그런데 P의 모든 열벡터가 정규직교벡터인 조건이 필요하더군요..

P^-1 대신 P^t를 쓰려면 반드시 고유벡터 구할 때에 정규화를 시켜주는 것은 수업시간에 들었는데, 그럼 정규화를 하는 대신에 그냥 고유벡터를 구하고 P^-1를 구할 때는 굳이 정규화를 시킬 필요가 없는 게 맞나요?

또한 A가 대칭행렬이지만 대수적 중복도가 2 이상이면서 기하학적 중복도도 똑같은 차원을 가질 때, 한 고윳값에 대한 두 고유벡터가 서로 직교하지 않는데 P^-1 대신 P^t를 쓰고 싶으면 그람슈미트 정규직교화를 해 주고 아니면 그냥 직접 계산해서 P^-1을 구할 수 있으면 별 다른 조치를 안 해도 되는 걸로 이해했는데 맞나요?