선생님 안녕하세요.

csch-1 (y) 식에서 분모에 절댓값이 나오는 부분 때문에 질문 드립니다.

우선, 

y = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) 를 정리해서

y*e^2x - 2e^x - y = 0 이라는 식을 얻었고, e^x에 대한 2차방정식의 해를

이 상태에서 구하면 근의 공식에 따라

e^x > 0 이므로, e^x = (1 + root(1 + y^2)) / y 이고 양 변에 자연로그를 취해 x를 구하면 자연로그의 진수부분에서 분모가 |y|가 아닌 그냥 y인 식을 얻게 됩니다.

그런데,

y*e^2x - 2e^x - y = 0 이 식에서 y != 0 이므로 양 변을 y로 나눈 후 다시 근의 공식으로 e^x를 구하면

e^x = 1/y + root(1/y^2 + 1)

       = 1/y + root((1+y^2) / y^2) 이므로 루트 내부의 분모 y^2을 꺼내면 |y|가 되니 이번에는 교재에 나와있는 식 그대로 두 번째 항의 분모에만 절댓값이 붙는 식이 구해집니다..

요약하면, e^x에 대한 이차 방정식을 2차항 계수로 나누고 근의공식을 적용할 때와 2차항 계수로 식을 나누지 않고 근의 공식을 적용했을 때 결과가 다르게 나타나는 데, 2차항의 계수로 나누지 않고 식을 유도할 때 어떤 부분을 고려해야 한 쪽 분모에만 절댓값이 붙는 지 궁금합니다.