미분이 가능하면 연속이지만

연속이면 미분이 가능한것은 아닌이유가

일단 f(x)에서 임의의 점a 에서의 미분계수 f`(a)들을 모두 이은 것을 도함수라고 보면

미분이 가능하다는 말은 도함수가 존재한다는것이고,

도함수 f`(x)의 정의역은 f(x)와 같아야 하고

도함수 또한 f(x)의 정의역 내에서 연속이어야하는데 (이것도 확실한건지 헷갈려요)

예를들어 f(x)=lxl 그래프를 보면 좌극한= -x (x가0-로 갈때)=0=우극한=x(x가0+로 갈때)=f(0) 이므로 연속이지만

f(x)의 그래프의 정의역은 실수전체 이지만

미분계수는 구간에 따라 (0,∞) 에서는 미분계수들을 모두 이으면 y=1,  (-∞,0) 에서는 y=-1 인데

그러면 이 함수의 도함수는

f`(x)= 1(0

크게 실수전체에서 볼때는 f`(0)은 정의할수없고 f`(0)의 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 연속도 아니고 극한값도 존재하지 않기 때문에

도함수가 없다고 보고 그래서 미분할수없다고 하는건가요? 

그렇다면 정의역 범위의 모든 점에서 미분계수를 구할수있어야 미분가능하다고 한다면

미분이 불가능한 함수 일지라도 어느점에서는 미분계수를 구하는것이 가능할수도 있는것이 맞나요? 

그리고 만약 y=lxl의 정의역을 (0,∞)이나 (-∞,0) 으로 둔다면 이 함수는 도함수가 존재하고 미분가능한 함수가 되는건가요?  

2. 선형근사는 다른 말로 접선의 방정식을 구하는것과 같다고 하셨는데 그렇다면 접선같은 경우엔 y=f(x)가 곡선이어야 하잖아요

그럼 y=x 같은 직선 함수에서는 선형근사나 접선이 존재하지 않는건가요? 아니면 그냥 접선과 함수가 같아져버리는 건가요?

3. 미분가능한 함수는 연속이라고 증명해주실때 limf(x)=limL(x) (x는a로 갈때) 로 증명해주셨는데

이해가 안가는부분이 f`(a)= lim {f(x)-f(a)}/(x-a) 라고 하셨는데

그래서 lim f(x)= f`(a) * lim (x-a) + lim f(a) (x가 a로 갈때) 라고 하셔서 lim f(x)= f`(a)*0+f(a) =f(a)라고 하셨는데 이 증명을 보고나니깐 

갑자기 미분자체에 대해 의문이 생기더라구요 우리가 앞에서는 부정형의 극한 문제는 예를들면 ∞ -∞ 이나 ∞ /∞ 이나 0/0 을 정형으로 변형해야하고 변형하는 방법에는 항등식 관계를 이용하거나 치환을 사용해라고 했는데 갑자기 왜 미분에서는 lim {f(x)-f(a)}/ (x-a) 이런거는 0/0 꼴로 나오는데 갑자기 그것을 인정하고 f`(a)라고 하나 의문이 들더라구요 근데 웃긴게 미분자체에 의문점이 드는데 미분이라는게 또 되긴 되니깐 그냥 보면 0/0인데 값은 나오고 이게 왜되는거지 싶으면서 희한해서 개념이 갑자기 또 혼동이 오고 ㅋㅋㅋㅋ 그러네요.

그리고 0/0 논란(?)이 아니더라도 f`(a)를 인정한것 부터 뭔가 연속이라는것을 인정하고 들어간 느낌인것같아서 뭔가 헷갈려요

미분가능한 함수가 애초에 연속이기 때문에 그런걸까요? 마치 증명이 lim f(x) = lim{f(x)-f(a)+f(a)}(x는 a로 갈때)인데 lim f(x)+f(a)-f(a)=lim f(x)=f(a)(x는 a로 갈때) 이렇게 해서 그냥 극한값=함수값 이런 꼴로 보여요 헷갈리네요...

질문이 너무 길어서 죄송합니다. 모르는 문제도 잘알려주시지만 얼마전엔 마인드까지 바로 잡아주시는 답변에 큰 용기를 얻고있습니다. 늘 감사합니다.