안녕하세요 교수님.

르장드르 방정식이 출제된다면

먼저 제1종 르장드르 함수를 구할텐데,

매클로린급수를 대입전개하지 않고 바로 P(x) 확정하고, 

제 1종 르장드르 함수를 바탕으로 라그랑주 차수 축소법을 사용해서 제2종 르장드르 함수를 구해도 되는 걸까요?

예를들어, 만약, 르장드르방정식+초기값2개, n차 르장드르 다항식의 x=1에서의 급수해가 1이 아님. 형태로 문제가 출제된다고 한다면 

주장1. 먼저, 특정한 1종 르장드르함수가 주어졌을 때 그 함수는 르장드르 다항식의 상수배에 불과할 것입니다. 

(P(x)는 x=1에서 1이되도록 정규화된 다항해로 yn(x)=yn(1)Pn(1)이며, 르장드르 미분방정식은 2계 제차 선형 미분방정식이므로 yn(x)는 Pn(x)의 상수배일 수 밖에 없습니다.)

주장2: 라그랑주 차수축소법으로 나온 해는

y(x)=c1P(x)+c2Q(x,c3)

이지만, 선형성에 의해 계수가 흡수될 것이므로 초기조건이 2개만 주어져도 일반해를 적절하게 재구성할 수 있을 것입니다.

(증명은 사진첨부)

따라서, 르장드르 방정식에서 x=0에서 해석적임이 확인되면, 굳이 매클로린 급수를 처음부터 전개하지 않고도 P(x) (로드리게즈공식)를 곧바로 사용할 수 있다고 주장할 수 있을까요?