| 제목 | 답변완료 고체역학 카스틸리아노 정리 | ||
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| 질문유형 | 강좌내용 | 교수님 | 권준표 |
| 과목 | 고체역학 | 강좌명 | |
| 작성자 | 유*휴 (c*****3) | 등록일 | 2023-01-04 20:23 |
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#고체역학 #카스틸리아노 #에너지법
안녕하세요 교수님 카스틸리아노 식 유도과정에서 이해가 가지않는 부분이 있어 질문 드립니다.
제가 이해한 바로는 선형시스템에서 하중이 선형적으로 증가할 때 추가적인일을 중첩법을 통해 나타낼 수 있고
이 걸 식으로표현하면 du = dpi*델i 이렇게 나타낼 수 있다고 생각하는데
강의에서 du값이 dpi*델i 뿐만아니라 하중이 처음 가해질때의 값이라고 하여 (dpi * d델i)/2 가 더해져있는데
(dpi * d델i)/2 이 표현이 잘 이해가 안됩니다 초기 변형에너지값은 이미 U에 포함 되어있고 여기에 additional work 인 dpi*델i 만 더하면 되는게 아닌가요??
감사합니다!
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질문하신 것을 보니
아래의 링크를 이미 보신 것 같습니다.
https://godjunpyo.com/castiglianos-theorem-카스틸리아노-정리/
P1, P2, ..., Pn의 힘이 가해지면서
δ1, δ2, ...δn의 처짐이 발생한다고 가정합니다.
이 상황을 다시 표현하면
가해준 P라는 힘은
구조에
external work, We(기계적인 일)을 가한다는 것이고
에너지를 받은 구조는
그 기계적인 일과 같은 크기인
U만큼의 strain energy로 저장을 하게 됩니다.
정리하자면,
P1, P2, ..., Pn의 힘과
δ1, δ2, ...δn의 처짐에 의해
발생한 strain energy가 U가 된다는 것인데
만약
Pn이 dPn만큼 살짝 달라졌다고 하면
δn도 dδn 만큼 살짝 달라질 것이고
U도 dU만큼 살짝 달라질 겁니다.
이를 식으로 표현하면
U+dU = U` = U + ∂U/∂δn*dδn
으로 됩니다.
그렇다면 이와 같은 값인
external work는 어떻게 표현될까요?
We + dWe = We` = We + Pn*dδn + 1/2*dPn*dδn
이 됩니다.
여기서 주의해야 할 것은
Pn` = Pn + dPn이 되기 때문에
변화된 deflection, dδn에 대한 에너지를 구할 때
- Pn*dδn
- 1/2*dPn*dδn
2가지 항이 나올 수 있다는 것입니다.
그러나 1/2*dPn*dδn의 경우
그 크기가 워낙 작아서
무시되고
We + dWe = We` = We + Pn*dδn
We` = U`이기 때문에
We + Pn*dδn = U + ∂U/∂δn*dδn
라는 식이 도출되어
Pn = ∂U/∂δn
이라는 결과가 나옵니다.
학생분이 질문하신 내용은
카스틸리아노 정리를 증명하는 과정에서
Pn과 δn를 바꾼 것인데
같은 방법으로 하면
δn = ∂U/∂Pn
라는 결과가 나옵니다.
역시 dPn와 dδn에 의한
external work는 너무 작아서 무시됩니다.
(학생분께서 생각하신 게 맞습니다.)
정리하자면
Pn이 dPn만큼 달라졌을 때
추가되는 에너지는
dPn*δn 뿐만 아니라
1/2*dPn*dδn만큼의 탄성에너지도 있습니다.
Pn이 달라지면 δn도 달라지기 때문입니다.
어차피 무시되긴 하지만
유도하는 과정에서 잘 확인하시면 좋을 겁니다.
질문에 대한 답이 됐기를 바랍니다.
감사합니다.
- 2023-01-17
- 2024-12-12 수정
