저번에 질문했던 내용에 대한 답변에 답글을 달았는데, 못 보실 것 같아 다시 새로 올립니다.

기존 질문 내용

교재 83페이지 [합성함수의 극한] 파트 질문입니다.

z->b일 때 g->M이라는 뜻은 z!=b일 때를 의미하는데, x->a(벡터)일 때 f->b라는 것에서 f!=b를 의미하지는 않기 때문에, 만약 이 경우 f=b인 상태로 수렴한다면 합성함수의 극한은 g(b)로 수렴하므로 M이라고 말할 수 없다고 생각해서 질문드립니다.

물론 g라는 함수가 연속이라고 제시되어있다면 문제되지 않겠지만 저 내용에 그런 언급이 없어서요.

감사합니다.  

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이 질문에 대해 연속이 아니어도 이 정리는 문제없이 성립한다고 답해주셔서 이에 대해 추가질문을 남깁니다.

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추가 질문 내용

제 기억으로는 1변수함수에서도 똑같은 정리가 있었던 것으로 기억합니다.

간단하게 1변수함수에서 예를 들면 f(x)가 상수함수인 케이스를 반례로 들 수 있습니다.

f(x)=1이라는 함수가 있다고 하면 x->0일 때 f(x)는 1로 수렴합니다.

그리고 어떤 g(z)라는 함수가 z가 1이 아닐때는 0으로 수렴하고 z=1일 때 1로 수렴한다고 설정을 합니다.

그러면 이 때 x->0 일때 g(f(x))라는 함수의 극한값을 조사를 해보면,

일단 f(x)->1인 상황입니다. 하지만 상수함수이기 때문에 이 값은 정확하게 1입니다.

즉 합성함수의 극한에서 g(z)가 z->1로 가는 상황이 아닌 z=1인 상황이기 때문에 이 극한값은 0이 아닌 1로 수렴합니다.

저 정리에서(스칼라라고 가정(1변수)) a=0, b=1, M=0인 상황이지만 합성함수의 극한은 0이 아닌 1로 수렴합니다.

따라서 저 정리가 성립하게 하려면 적어도 g(z)가 z=b에서 연속이라는 조건이 필요하다고 생각합니다.

다변수함수에서도 마찬가지로 그렇습니다.

감사합니다.