권*표 교수님

답변에 앞서, 관련 질문이 아래와 같이 있으니 함께 살펴 보세요.

[23강 관련 질문 1] https://godjunpyo.com/열전달/?mod=document&pageid=1&keyword=23강&uid=1700
[23강 관련 질문 2] https://godjunpyo.com/열전달/?mod=document&pageid=1&keyword=23강&uid=1768

그리고 먼저 제가 설명한 방식과 동일하게 기술된 AI의 답변을 아래에 첨부합니다.

이 미분 식들은 열 확산 방정식 또는 다른 유사한 물리 과정을 해석할 때 활용되는 변수 분리(variable separation) 테크닉과 체인 룰(chain rule)을 적용한 결과입니다. 

제시된 이미지에서는 두 개의 식이 있는데, 변수 ( T )는 위치 ( x )의 함수로서 "열"이나 다른 어떤 물리적 양을 나타낼 수 있습니다. 첫 번째 식에서 변수 ( η )는 ( x )와 시간 ( t )의 결합된 함수로서, 새로운 변수입니다. 이 변수는 종종 유사 변수(similarity variable)라고 불리우며, 이를 통해 원래의 부분 미분 방정식을 보다 간단한 형태의 상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE)으로 바꾸는 데 유용합니다.

첫 번째 식은 체인 룰을 사용하여 다음과 같이 유도됩니다:

[
(∂ T)/(∂ x) = (d T)/(d η) · (d η)/(d x)
]

여기서 ( (d T)/(d η) )는 ( T )가 ( η )에 대해 어떻게 변하는지를 나타내고, ( (d η)/(d x) )는 ( η )가 ( x )에 따라 어떻게 변하는지를 나타냅니다.

문제에서는 ( η )가 ( x )와 ( t )의 결합 함수로, 다음과 같이 주어집니다:

[
η = (x)/((4 α t)^{1/2)}
]

그래서 ( (d η)/(d x) )를 계산하면 ( (4 α t)^{-1/2} )가 됩니다. 따라서 첫 번째 식은 다음과 같이 간단하게 표현됩니다:

[
(∂ T)/(∂ x) = (1)/((4 α t)^{1/2)}(d T)/(d η)
]

두 번째 식은 같은 원리로, 이번에는 ( x )에 대한 ( T )의 두 번째 편미분을 다룹니다. 체인 룰을 다시 사용하여 다음과 같이 표현합니다:

[
(∂² T)/(∂ x²) = (d)/(d η) ( (∂ T)/(∂ x) ) · (d η)/(d x)
]

첫 번째 식을 통해 이미 ( (∂ T)/(∂ x) )를 ( η )에 대한 함수로 표현했기 때문에, 위 식을 사용하여 두 번째 편미분을 계산할 수 있습니다:

[
(∂² T)/(∂ x²) = (d)/(d η)( (1)/((4 α t)^{1/2)}(d T)/(d η) ) · (d η)/(d x)
]

그리고 위 식에서, ( (4 α t)^{1/2} )는 ( η )에 의존하지 않기 때문에 상수로 간주하여 밖으로 빼낼 수 있습니다:

[
(∂² T)/(∂ x²) = (1)/((4 α t)^{1/2)} · (d)/(d η)( (d T)/(d η) ) · (d η)/(d x)
] 

마지막으로, ( (d η)/(d x) = (4 α t)^{-1/2} )를 다시 적용하면 최종적으로 다음과 같이 됩니다:

[
(∂² T)/(∂ x²) = (1)/(4 α t) (d² T)/(d η²)
]

이러한 유도는 비선형 부분 미분 방정식을 선형 상미분 방정식으로 변환하는 과정에서 흔히 볼 수 있는 방법이며, 특히 열전달 공학, 유체역학 및 기타 관련 분야에서 널리 사용됩니다. 

 

 

 

그러나 미분 과정에서 η와 t의 의존성에서 의문점이 생기실 것 같습니다. 아래와 같이 미분하면 좀더 그 과정이 논리적으로 이해가 되실 것 같아 첨부드립니다. 어려운 내용인데, 열심히 공부해 주셔서 감사합니다.

 

 

• 2024-03-24
• 2024-12-12 수정